The Radial Spanning Tree of a Poisson Point Process

We analyze a class of random spanning trees built on a realization of an homogeneous Poisson point process of the plane. This tree has a local construction rule and a radial structure with the origin as its root We first use stochastic geometry arguments to analyze local functionals of the random tree such as the distribution of the length of the edges or the mean degree of the vertices. Far away from the origin, these local properties are shown to be close to those of the directed spanning tree introduced by Bhatt and Roy. We then use the theory of continuous state space Markov chains to analyze some non local properties of the tree such as the shape and structure of its semi-infinite paths or the shape of the set of its vertices less than k generations away from the origin. This class of spanning trees has applications in many fields and in particular in communications. Key-words: Nearest neighbor graph, Directed spanning tree, asymptotic shape, stochastic geometry, continuous space Markov chain, small set. ∗ INRIA-ENS, Département d’Informatique, ENS, 45 rue d’Ulm, F-75230 Paris Cedex 05, France, [email protected] † INRIA-ENS, Département d’Informatique, ENS, 45 rue d’Ulm, F-75230 Paris Cedex 05, France, [email protected] Sur l’arbre couvrant radial d’un processus ponctuel de Poisson Résumé : Nous étudions une classe d’arbres couvrants aléatoires construits sur les réalisations d’un processus ponctuel de Poisson dans le plan. Ces arbres ont une règle de construction locale et une structure radiale avec une racine située en l’origine du plan. Nous utilisons d’abord des arguments de géométrie stochastique pour analyser les propriétés locales de ces arbres aléatoires telles que la distribution de la longueur des arcs ou le degré moyen des noeuds. Lorsqu’on s’éloigne de l’origine, ces propriétés locales sont proches de celles de l’arbre couvrant dirigé introduit par Bhatt et Roy. Nous utilisons ensuite le théorie des châınes de Markov à espace d’état continu pour analyser certaines propriétés non locales de ces arbres comme la forme et la structure de leurs chemins semi-infinis ou encore la forme de l’ensemble des noeuds qui sont à moins de k générations de la racine. Cette classe d’arbres a de nombreuses applications, notamment dans le domaine des communications. Mots-clés : Graphe des plus proches voisins, arbre couvrant dirigé, forme asymptotique, géométrie stochastique, châıne de Markov à espace d’état continu, ensemble petit. The Radial Spanning Tree 3